חכם עזרא ציון מלמד נולד לאימו ולאביו חכם רחמים מלמד הכהן בכסלו שנת תרס"ד (1904) בשיראז שבפרס.
ראשית תורתו ואהבתו לתורה ינק מפי אביו חכם רחמים מלמד. אביו, שחיבר ספר 'כסא רחמים' היה דרשן דגול ועלה לארץ ישראל בשנת תרס"ו (1906) והפך למנהיג עדת יהודי פרס בארץ ישראל. כשנה לאחר מכן עלה אחריו חכם עזרא ציון מלמד לארץ יחד עם אמו.
חכם עזרא ציון מלמד למד בתלמוד תורה 'דורש ציון' ואחר כך בישיבות 'ציון' ו'אפריון'. לאחר לימודיו בישיבה פנה להשתלם בלימודי היהדות במוסדות האקדמיה, והיה אחד מהתלמידים הראשונים במכון ללימודי יהדות של האוניברסיטה העברית. בשנת תשי"א (1941) קיבל תואר ד"ר ובשנת תשכ"ד (1964) קיבל את תואר פרופסור שניהם מהאוניברסיטה העברית.
כל חייו עסק בהוראה החל מהכיתות הנמוכות בתלמוד תורה 'דורש ציון' בו הוא עצמו למד בילדותו, במכללות שונות ובאוניברסיטאות. הוא כיהן כחבר בחוגים שונים: החוג לתלמוד באוניברסיטת תל אביב, החוג למקרא באוניברסיטה העברית, ובעקבות ידיעותיו המופלגות בלשון כיהן כחבר וחוקר באקדמיה ללשון העברית.
לצד עבודתו בהוראה במקומות השונים, עסק גם בפעילות ציבורית ענפה של הנהגת יהודי פרס בארץ, גמילות חסדים ודרש לבני קהילתו בבתי הכנסת בקריית משה בירושלים, ובישיבת 'שערי רחמים' אותה ייסד אביו.
חכם עזרא ציון מלמד קיבל פרסים שונים על פועלו, בין הפרסים: פרס יקיר ירושלים, פרס טשרניחובסקי, פרס מכללת דוד ילין ופרס ישראל על פרשנות המקרא וספרות תורנית.
חכם עזרא ציון מלמד נפטר ביום כ"ו אדר תשנ"ד (1994) זקן ושבע ימים בגיל 91, ונקבר בירושלים.
חכם עזרא ציון מלמד חיבר עשרות רבות של מאמרים וספרים ובתוכם: 'פרקי הלכה ומנהג', 'מפרשי המקרא', 'פרקי מבוא לספרות התלמוד', 'מדרשי התנאים' ועוד. הוא הוציא לאור ספרי מחקר של חבריו ושל ומורו פרופסור ר' יעקב נחום הלוי אפשטיין, וחיבר מילונים כמו המילון ארמי-עברי, שמשתמשים בו לומדי הגמרא.