חכם עבדאללה בן חכם אברהם סומך נולד בבגדאד בשנת תקע"ג (1813). תלמידו המובהק של חכם יעקב הרופא. שוקד היה על תלמודו, ושוקט על שמריו. למזונותיו לא היה נטרד, משולחן אביו התפרנס בכבוד. לא עברו ימים ושמו יצא כאחד הגדולים בתורה ובחוכמה.
בתחילה עסק גם במסחר, והיה שותפו של הסוחר הגדול משה כבאזה. ברם, בראותו כי לימוד התורה בבבל הולך ורופף, בגלל חוסר בית מדרש לרבנים, התעורר ברגש קודש ובאהבה עזה, לקח עשרה אברכים והתחיל ללמדם תורה בשקידה רבה, חינם אין כסף.
בימים ההם נמצא בבגדאד הנדיב רב הפעלים יחזקאל בן ראובן מנשה. בראותו את מאמצי הרב עבדאללה סומך, נקשר אליו בנימי חיבה. בשנת ת"ר (1840) קנה חצר ובנה בה בית מדרש לרבנים, שנקרא בשם "מדרש אבו מנשי", והקדישו לתלמיד חכם עבדאללה. בשנת תרי"ד (1854) סתר בנו, מנשה בן יחזקאל, את בית המדרש אשר בנה אביו, הרחיב ובנה בית כנסת, שנקרא "מדרש אבו-מנשי", ועל ידו בנה בית מדרש גדול לרבנים בשם "מדרש בית זלכה". בית מדרש זה הלך והתפרסם מיום ליום, ויהי שומעו בכל הארצות. תלמידים רבים נהרו אליו מכל ערי בבל ואגפיה ושתו בצמא מפי המורה הגדול חכם עבדאללה. רבנים רבים יצאו מבית המדרש, מוכתרים בכתר תורה, ושמשו ברבנות בבבל ומחוצה לה, ובתוכם חכם אליהו מני רבה של חברון, וחכם יוסף חיים בעל הבן איש חי.
החכם עבדאללה נפטר בליל שבת קודש י"ח אלול תרמ"ט (1889), במוצאי שבת נערכה הלווית הרב. החכם נטמן בחצר קברו של יהושע כהן גדול, לצד רבו, החכם יעקב הרופא. סביב עניין קבורתו, התרחשו בבגדאד מאורעות כבירים, שהרעישו בזמנם את היהדות העולמית בכלל ואת יהדות בבל, קושטא ולונדון בפרט. הרב הוצא מקברו בהחלטת הפאשה, וכמה מנכבדי הקהילה היהודית ותלמידי הרב נאסרו לזמן ממושך.
לאחר שלושה חודשים, החליטה הממשלה בקושטא להדיח את הפאשה על יחסו העוין לקהילה היהודית, להוציא את החכם מקברו, ולקוברו בקבר ישראל.
אחרי מותו, נדפסו שני חלקים מספרו "זבחי צדק". שני חלקים נוספים, נמצאים בכתבי יד. הספר כולל פסקי דינים על השולחן ערוך ביורה דעה, ובסופו כמה שו"ת על ארבעת חלקי השולחן ערוך. נוסף לכך השאיר בכתבי יד החיבורים: "עץ השדה" - שיטה על מסכת ביצה, חידושים על רוב מסכתות התלמוד; פירוש על הגדה של פסח; "חזון למועד" על חכמת העיבור וספר "שאלות ותשובות" הכולל מאות שו"ת, מכל תפוצות המזרח. התשובות שהיו מכורכים בשני כרכים, עמדו בחדר ישיבתו אך נעלמו בזמן מלחמת העולם הראשונה.