חכם משה אבן מוסא נולד לאביו חכם אברהם אבן מוסא ולאמו בשנת ת"נ (1690) כנראה בתיטואן במרוקו.
ראשית תורתו למד מפי אביו, החכם המקובל חכם אברהם אבן מוסא, שהיה רב בעיר פאס. עבר עם אביו לעיר תוניס, שם שימש אביו אב בית הדין, ועמד בראש הישיבה. חכם משה אבן מוסא למד בישיבת אביו, ולמד מפי גדולי תלמידי אביו, חכם מרדכי קראבאלייו וחכם יעקב לומברוזו. קבלה למד מפי החכם מרדכי בוסקילה.
בשנת תצ"ג (1733) נפטר אביו, והוא החל לנדוד בין ערי תוניס. בשנת תצ"ח (1737) הגיע לאלג'יריה, משם נדד במרוקו, ולאחר מכן הגיע לליוורנו באיטליה. בשנת תק"ד (1744) חזר לאלג'יר כדי להדפיס את ספרי אביו.
חכם משה אבן מוסא זכה ועלה לארץ ישראל. הוא ביקר בירושלים, בחברון, ובצפת. הוא ביקש להשתקע בצפת ולעסוק בחכמת הנסתר. אך מצא את העיר עניה ולחוצה ועבר לאלכסנדריה שבמצרים. שם ישב בביתו של חיים ששון מפרנסי הקהילה. באלכסנדריה עסק בתורה בישיבת חכם ברוך צ'אני.
בשנת תקי"ב (1751) חזר לירושלים, ונמנה על חכמי ישיבת 'גדולת מרדכי', שייסד הגביר מרדכי טלוק, שעלה ממרוקו, בראשות חכם יצחק זרחיה אזולאי, חכם יונה נבון וחכם שם טוב גבאי. חכם משה אבן מוסא לימד תורה ונשא דרשות. הוא חיבר פיוטים על נדודיו ומסעותיו ועל המקומות בהם ביקר.
חכם משה אבן מוסא נפטר בירושלים כנראה בשנת תקי"ח (1758). יום פטירתו אינו ידוע לנו. אנו מציינים אותו ביום י"ב טבת, יום בו חזר לירושלים מאלכסנדריה בשנת תקי"ב (1751).
בין חיבוריו: 'אשת חיל' - על דרך הפשט והסוד; 'דיוואן' - כל שיריו; 'עובר לסוחר' - חידושים על התלמוד.