הוריו שעלו לארץ ישראל מהעיר גאבס שבתוניסיה, קראו לו על שמו של חכם נתן חוויתה פרג'ון, רב העיר אשקלון. בילדותו התגורר בבית הורי אמו בעיר טבריה. אחר ששב לבית הוריו באשקלון, למד בבית הספר היסודי 'רמב"ם', משם עבר ללמוד ב'קריית נוער', בירושלים, ומשבגר למד ב'ישיבת הנגב' בנתיבות מפי הרבנים יששכר מאיר וראובן יוסף גרשנוביץ. לאחר שירותו בצה"ל חזר ללמוד בישיבה.
בשנת תש"ן (1990) חכם נתן בוקובזה נשא לאישה את מרת יעל לבית ברבי ונולדו להם ארבעה בנים ובת. הם התגוררו בנתיבות, וחכם נתן בוקובזה למד בכולל שבישיבת הנגב ובמושב זרועה. בהמשך הוסמך לרבנות, ושימש מחנך בתלמוד תורה 'תורה לשמה' באופקים.
בשנת תשנ"ז (1997) נפטרה אימו חיה, לזכרה ועל שם רבי עמרם בן דיוואן, הקים את אגודת 'עמרם החי', שעסקה בגמילות חסדים. בשנת תשנ"ט (1999) הקים אגודה נוספת על שם אמו: 'חוג ידידי התורה' - ראשית תיבות חי"ה, שבמרכזה לימוד תורה וגמילות חסדים. בכלל זה, ייסד כולל ערב לאברכים והחזיק ישיבה לבעלי תשובה, וכן הפעיל בית תמחוי, וארגן חלוקת מוצרי מזון וביגוד.
בשנת תשס"ה (2005) חלה במחלה, למרות הטיפולים הרבים אליהם נזקק, לא הפסיק מפעילותו להרביץ תורה ברבים, ולהרבות צדקה וחסד. רבו, הרב מאיר יששכר הוסיף לשמו את השם 'חזקיהו' כסגולה לרפואה.
חכם נתן בוקובזה נפטר, מדוכא בייסורים, ביום י' בניסן תשס"ו (2006).
המוסדות אותם הקים, נקראו על שמו, לאחר פטירתו, בשם 'מאורות נתן'. בשנת תשס"ט (2009) הוציא לאור בנו את הספר 'זיכרון נתן', בו ערך רבים מחידושיו ודרשותיו.
