ראשית תורתו למד מפי רבותיו חכם אליהו רבוח וחכם מכלוף לוגאסי. גדל בעוני ודבק בתורה מנעוריו. המשיך בלימודו מפי חכם יהודה אוחיון וחכם אזוביב. במשך שנה עבר לעיר מוגאדור, שם למד את מלאכת השחיטה.
בשנת ת"ש (1940) שימש החל לשמש רב בכפר הולדתו איליג', ועמד בראש תלמוד התורה.
בשנת תש"ז (1947) נשא לאשה את רחל, בת דודו, חכם נסים שריקי.
בשנת תשט"ז (1956) זכה ועלה לארץ ישראל, והתיישב במושב כסלון ליד בית שמש, שהוקם מחדש כמה חודשים קודם לכן, ע"י עולים ממרוקו ומתוניסיה. חכם אליהו שריקי שימש רב המושב, והיה סובב בין מושבי האזור, עסק בשחיטה, ומסר שיעורי תורה בבתי הכנסת.
בשנת תשכ"ב (1962) חלה בדלקת פרקים, מהשתחרר מבית החולים, קיבל על ללמוד בכל יום 18 משניות, כך שבכל חודש סיים לימוד כל המשניות, ובכל שנה עשה סעודת הודיה והילולה לרבי מאיר בעל הנס.
חכם אליהו שריקי העמיק בלימוד התורה ומיעט בדיבורו. הוא היה נוסע בהחבא ל'ישיבת החיים והשלום', שם העמיק את לימודו בסתרי תורה. הוא קבע לימודו בזוהר ובתיקונים, והנהגותיו בסתר היו על פי סודות התורה.
במקביל דרש להמון עם, מסר שיעורים בין מנחה לערבית, ובליל שבת לימד מוסר ו'עין יעקב'.
במהלך חייו הספיק לכתוב 12 ספרי תורה. חיבורו בהלכות שחיטה, שעמד בכתב יד, אבד לנו. בזקנותו עבר להתגורר בבית שמש, עבר אירוע מוחי, ונחלש. אף שהתקשה בהליכה ובראייה, הקפיד להשתתף בשיעורי תורה, להתפלל שלוש תפילות במניין, וביקש שיקראו לפניו בכל יום 'חוק לישראל'.
חכם אליהו שריקי נפטר ביום י"ז בסיוון תשע"ב (2012).
לאחר פטירתו, יצא לאור לזכרו הקונטרס 'מראש צורים', ובסוף הספר 'מעלות אליהו', הודפסו חידושיו, שאסף וכתב משמו, בנו החכם משה שריקי בספר 'תורת אליהו'. ספר זה יצא גם בנפרד בכמה מהדורות בהוצאת המשפחה.
