גדל בתורה וביראה על ברכי חכמי סרייבו. בשנת תרפ"ח (1928) החל ללמוד בסמינר התאולוגי היהודי מפי הרב ד"ר מוריץ לוי, הרב הראשי ליהודי סרייבו. בשנת תרצ"ד (1934) עבר ללונדון שם למד באוניברסיטת לונדון. בשנת תרצ"ט (1939) קיבל תואר דוקטור. הוא נשא לאשה את רגינה הסן ונולדו להם שני ילדים.
בשנת תש"א (1941) פלשה גרמניה הנאצית לממלכת יוגוסלביה. הוריו ומשפחתו שנותרו שם נספו בשואה.
בשנת תש"ח (1948) הוסמך לרבנות בקולג' היהודי בלונדון. בשנת תש"ט (1949) החל לשמש הרב הראשי של 'קונגרס הקהילות הספרדיות' של 'חבר העמים הבריטי', שמרכזו שכן בבית הכנסת בוויס-מרקס בלונדון.
חכם סולומון גאון עסק בפעילות ציבורית ענפה, ושימש נשיא הפדרציה הספרדית העולמית.
בשנת תשכ"ג (1963) החל להשתתף בכתיבת תוכנית לימודי יהדות ספרד של 'ישיבה יוניברסיטי' בניו-יורק. בשנת תשל"ז (1977) עבר לארצות הברית, שם שימש מרצה ב'ישיבה יוניברסיטי', והקים את המכון ללימוד יהדות ספרד על שם יעקב א. ספרא. הוא הקפיד ללמד בעברית, ואל שיעוריו הגיעו סטודנטים רבים, אשכנזים כספרדים. הוא כתב וערך מאמרים רבים, מחקרים וספרים, פרשנויות ותרגומים, כולל פירוש על ספר התפילות של העדה הספרדית-פורטוגזית. חכם סולומון גאון שימש נשיא איחוד הקהילות הספרדיות בארצות הברית וקנדה. הוא התגורר במנהטן והיה פעיל בקהילת 'שארית ישראל' הספרדית-פורטוגזית בשכונתו.
בשנת תש"נ (1990) קיבל את פרס נסיך אסטוריאס ע"י יורש העצר הספרדי בשם קהילות יהדות ספרד.
חכם סולומון גאון נפטר ביום י"ט בטבת תשנ"ה (1994), בניו-יורק, והובא לקבורה בהר הזיתים.
בין חיבוריו הרבים: 'סדר התפילות: כמנהג קהילת קודש ספרדים שער השמים בלונדון', 'הספרדים והשואה', ו'תפישת המדינה של דון יצחק אברבנאל'.
