ראשית תורתו למד מפי אביו, חכם חיים יצחק מוסאפיה, מחבר הספר 'חיים וחסד' - שו"ת. אביו היה מתלמידי חכם דוד פארדו, רב העיר ספלאטו וסרייבו, שבשנת תקמ"ב (1782) זכה ועלה לארץ ישראל והתיישב בירושלים.
אביו חכם חיים יצחק מוסאפיה יצא בשליחות חכמי ירושלים, ולאחר סיום שליחותו, התיישב בעיר ספלאטו (היום קרואטיה), והתמנה לרב העיר. בשנת תקצ"ז (1837) נפטר אביו, וחכם אברהם חי מוסאפיה התמנה במקומו כרב העיר ספלאטו. הוא עמד בקשר עם חכמי ירושלים, דרש ברבים והשיב תשובות בהלכה.
בשנת תר"ד (1841) היה באנקונה, והתארח בביתו של חכם משה אזולאי, נכדו של מרן החיד"א. שם ראה את כתב היד של הספר 'זרע יצחק', מאת חכם יצחק זרחיה אזולאי, אביו של מרן החיד"א. חכם אברהם חי מוסאפיה הקים ספירה גדולה מאוד בעיר ספלאטו, ובה אסף מאות ספרים וכתבי יד. חלקם עודם קיימים עם חתימת כתב ידו.
בשנת תרכ"ז (1867) הדפיס את ספרו 'תהילה לדוד' בעיר ליוורנו בדרום-מערב איטליה.
בשנת תרכ"ח (1867) סיים לכתוב בכתב יד את ספרו 'כנפי יונה' - דרשות, בעיר טריאסטה בצפון-מזרח איטליה. וכן חיבר את הספרים 'פת לחם' - על תהילים; פרפראות לחכמה; 'זכור לאברהם' - דרשות בשבעה כרכים, חלקם בין השנים תקצ"ט (1838)-תר"ח (1848); 'דרושים לשבתות מיוחדות'; 'חידושי תורה ומדרשים' בשלושה כרכים; 'דבר בעיתו' - דרושים על התורה. 'מזמור לתודה' - תהילים; כן מופיעות הערות שרשם בכתב ידו על ספר 'תיקוני הזוהר'. ספרים אלו עדיין עומדים בכתב יד בספריה הלאומית.
בשנת תרל"א (1871) עלו לארץ ישראל רבים מיהודי אזור בוסניה. חכם אברהם חי מוסאפיה ביחד עם הגביר משה פניצי, הקימו בירושלים ישיבה עבור העולים. חכם אברהם חי מוסאפיה, שהיה אמור לעלות איתם ולשמש ראש הישיבה, נפטר ולא זכה. הגביר משה פניצי רכש את ספרייתו של חכם אברהם חי מוסאפיה והעלה אותה לישיבה בירושלים. הישיבה נקראה על שמו של חכם אברהם חי מוסאפיה - שבת אחי"ם, ובראש הישיבה עמד, חכם אהרון עזריאל, ראש ישיבת המקובלים 'בית אל'.
יום פטירתו אינו ידוע לנו. אנו מציינים אותו ביום י"ח כסליו. יום בו חתם את ספרו 'כנפי יונה' בשנת תרכ"ח (1867).
