גדל בתורה וביראה, והיה בקי בכל מכמני התורה, בנגלה ובנסתר. היה תלמיד חבר של החכם מארי יוסף אלחדה, אב בית הדין במוז שרעב. התייחד בלימוד עם החכם המקובל מארי יעיש קוריני, מחבר הספר 'מחמדי שמים', והחכם המקובל מארי דוד יעיש חדאד, אב בית הדין במחוז שרעב. חיבר שירים, ובהם סודות מתורתו הקדושה. היה מסגף עצמו, חי בקדושה וטהרה. נודע בתימן כמחולל נפלאות וכקדוש עליון.
בשנת תרע"ד (1914) חכם מארי שלמה טביב הסמיך לרבנות את תלמידו החכם המקובל מארי חיים סינוואני.
החכם המקובל מארי שלמה טביב נפטר ביום כ' בחשוון תרע"ט (1918). טרם פטירתו, הורה לתלמידיו כי מן השמים, יזדמן נחש, שילך לפני מיטתו, ויסמן לתלמידיו היכן לקוברו. מקום קבורתו, לצד חברו, החכם דוד יעיש חדאד, הפך מוקד עלייה לרגל ליהודים ולמוסלמים.
מעט מחידושיו נותרו בכתב יד בפתקים, שנאספו והוצאו לאור בידי החכם מארי חיים גד עדני בספר 'חכמת שלמה', הכוללים חידושים לספר במדבר, וחלק מספר דברים.
