חכם חביב אלקובי נולד לאמו עליה ולאביו יוסף בשנת תרל"ח (1888) בכפר אוריקה שבהרי האטלס במרוקו. ראשית תורתו מאביו ובתלמוד תורה בכפרו, וכשמלאו לו 17 שנה נסע למרקש להמשיך ולגדול בתורה ובקבלה בישיבה מפי חכם שלמה הכהן. כשבע שנים למד בישיבה במרקש שם הוסמך לדיין, ולאחר מכן חזר לכפרו להשתלם גם במלאכות הקודש שחיטה ומילה. כשהוא שלם בתורה ומוכן לשרת את עם הקודש נקרא לשמש ברבנות ובדיינות בכפר 'סידי רחל זאוויה' שהיו בו 150 יהודים.
צרות רבות תכפו ובאו על חכם חביב אלקובי, אשת נעוריו נפטרה וגם אשתו השנייה, שנשא אחריה נפטרה גם היא, והוא עצמו חלה בחולי עיניים קשה. בזמן חוליו נדר שאם יזכה לצאת מחולי זה ישקוד על התורה ויחבר חידושים בתורה. משאלתו נתקיימה ועל כן חיבר חיבור 'לקח טוב' - על התורה נביאים וכתובים. נוספו על קשיי הגוף גם קשיי הפרנסה. כמה פעמים כתב בספרו התנצלות, על כך שמחמת עניותו, אין מצויים לפניו הספרים, וכל מה שהוא כותב מעלה הוא מזיכרונו בלבד.
לאחר שנים רבות ששמש ברבנות, עקר לקזבלנקה שם עסק בהוראת תלמידי התלמוד תורה בעיר ובשעותיו הפנויות עסק בתורה, בחכמת הנסתר ובמסירת שיעורים בין מנחה לערבית. בשנת תשי"ב (1952) הקימה תנועה חב"ד תלמודי תורה רבים בערים ובכפרים שבמרוקו. לחכם חביב אלקובי הוצעו משרות בתלמודי תורה אלו אך הוא העדיף להקדיש את שארית חייו ללימוד התורה ולכתיבת קמיעות לזקוקים לישועה.
אהבת שירת הקודש וניגוני התפילה היו מנת חלקו, וביום הכיפורים היה נוהג לעבור לפני התפילה בכל חמש התפילות. גם על גלות השכינה קונן בנגינות נוגות עת אמירת תיקון חצות בכל חצות לילה כפי שהעיד עליו בנו.
חכם חביב אלקובי נפטר ביום י"ד טבת תש"ך (1960) כשבוע לאחר פטירת רעייתו האחרונה .
חיבורו היחיד 'לקח טוב' יצא לאור ע"י נכדו בהוצאת 'אור המערב הישיבה הספרדית' בשנת תשע"ב (2012).