חכם אליעזר חזן נולד לאמו ולאביו הראשון לציון חכם יוסף רפאל בשנת תקמ"ו (1786) באיזמיר שבתורכיה.
רוב תורתו קיבל מפי אביו בעל ה'חקרי לב'. בשנת תקע"א (1811) עלה יחד עם אביו ומשפחתו לארץ ישראל והתיישב בירושלים, שם עלה ונתעלה במעלות התורה והקדושה. אביו העיד על גדולתו בתורה, וראה בו את ממשיך דרכו. חכם אליעזר חזן היה בקי עצום בנסתר כבנגלה, ונמנה עם חכמי ישיבת 'בית אל'.
כשלוש שנים לאחר פטירת אביו, חכם אליעזר חזן נפטר ביום ח' באב תקפ"ג (1823) ונטמן בהר הזיתים.
חכם אליעזר חזן כתב הרבה חידושים בחייו, אך לא זכה לראות שום חיבור שלו בדפוס. שנים רבות לאחר פטירתו נמצאו חלק מחיבוריו, ויצאו לאור בספרים הבאים: 'עמודי ארזים' - ביאור על ספר היראים ו'משפטי השם' - שו"ת.