חכם משה בארקי נולד לאמו ולאביו חכם רפאל אברהם בכור בשנת תקפ"ט (1829), באיזמיר, בטורקיה.
חכם משה בארקי למד תורה מפי חכם חיים פלאג'י, ומפי בנו, חכם אברהם פלאג'י, שהיה אב בית דין באיזמיר. לימים מינה חכם אברהם פלאג'י את חכם משה בארקי לחבר בבית דינו. הוא נשא לאשה את קאדין ונולדו להם חמישה ילדים, ובשנת תרס"ז (1907) החל לשמש כראש הרבנים באיזמיר.
חכם משה בארקי נפטר בד' סיוון תרע"ג (1913) באיזמיר ונקבר שם.
מכל כתביו נמצא בידינו רק אוסף תשובותיו, שהובאו לדפוס בירושלים תחת השם 'מזכרת משה'.