חכם שלמה אלגזי נולד לאמו ולאביו אברהם בשנת ש"ע (1610) בבורסה שבטורקיה.
עיקר תורתו למד מפי החכם יוסף ששון והחכם מאיר די בוטון.
בשנת שצ"ה (1635) חכם שלמה אלגזי עלה לארץ ישראל, ומונה לדיין בירושלים.
בשנת ת"ה (1645) נסע לאיזמיר שבטורקיה, כדי להדפיס את ספריו. הוא הקים ישיבה בעיר ושימש ברבנות. את בתו השיא לחכם אהרון לפפא, רבה של איזמיר. באותן שנים התפשטה האמונה במשיח השקר שבתי צבי. חכם שלמה אלגזי וחכם אהרון לפפא היו מן המתנגדים התקיפים לשבתי צבי, וניסו לעורר נגדו את חכמי תורכיה אך בשל רדיפות ההמון נאלצו לברוח מאיזמיר. לאחר התאסלמותו ומאסרו של שבתאי צבי שבו לאיזמיר.
בשנת ת"ל (1670) חכם שלמה אלגזי חזר לירושלים, והיה מחכמי בית המדרש 'בית יעקב', שיסד חכם יעקב חאגיז. נכדו של חכם שלמה אלגזי, שנקרא על שמו, שימש כרבה של מצרים.
חכם שלמה אלגזי נפטר בשנת תמ"ג (1683), יום פטירתו אינו ידוע לנו, אנו מציינים אותו ביום ז' באדר, שכל נשמות חכמי ישראל כלולות במשה רבינו.
בין חיבוריו הרבים: אהבת עולם, גופי הלכות, הליכות אלי, זקנת שלמה, יבין שמועה, לחם סתרים, מעולפת ספירים, רצוף אהבה, שמע שלמה, ותאווה לעיניים.