הרב צבי אלימלך קאליש נולד לאמו אסתר ולאביו חיים בשנת תרס"ג (1903) במונקאטש, הונגריה.
רוב תורתו למד מפי רבו, הרב חיים אלעזר שפירא, האדמו"ר ממונקאטש. היה מקורבו ואיש אמונו. סייע לרב בהקמת ישיבת 'דרכי תשובה' במונקאטש, והיה מתלמידיה הראשונים.
בשנת תש"ד (1943) הרב צבי אלימלך קאליש נלקח ממונקאטש למחנה אושוויץ ע"י הגרמנים, שם איבד את כל משפחתו וקרוביו, ביניהם אשתו הראשונה מרת מרים, הי"ד, שנספתה יחד עם שמונת אחיו ואחיותיו, הי"ד.
בחסדי ה', הרב צבי אלימלך קאליש שרד את ימי השואה, ולאחר תום מלחמת העולם השנייה, נשא לאישה את מרת זיסל, הצעירה ממנו בכעשרים שנה, שאף היא איבדה את כל בני משפחתה, ונולדו להם ארבע בנות.
לאחר המלחמה, בשנת תש"ה (1945), סופחה מונקאטש, לרפובליקה הסובייטית האוקראינית. הרב צבי אלימלך קאליש, עד שברח מן הנץ לנקיק הסלע מצא שם נחש מקנן. אומנם, הצליח להציל מגזירת שריפה 4,000 ספרי קודש, ובתוכם ספר תורה עתיק, אך בשל חלקו בהפצת יהדות והדרכה לבניית מקוואות בבתים ובחצרות, נעצר כמה פעמים ע"י הקג"ב. במהלך מעצרו נחקר בעינויים כדי לדלות ממנו מידע על סוחרי זהב יהודיים, ולבסוף נאסר והוגלה לסיביר. הוא זכה לחנינה, רק לאחר מותו של סטאלין, שליט ברית המועצות, בשנת תש"ג (1953).
הרב צבי אלימלך קאליש ביקש לעלות לארץ ישראל, אך השלטון הסובייטי סירב לבקשתו מספר פעמים, עד שבשנת תשכ"ו (1966) אושרה בקשתו, זכה ועלה לארץ ישראל, והתיישב בעיר בני ברק.
הרב צבי אלימלך קאליש נפטר ביום י"ד סיון תשמ"ג (1983), ונקבר בבית הקברות סגולה בפתח תקווה.
ספרו 'כבוד חכמים' - על אגדות חז"ל, יצא לאור בחייו, אך עוד מחידושיו נותרו בכתב ידו בידי צאצאיו.