ראשית תורתו למד מפי סבו החכם מארי עמרם קורח, ששימש רבה הראשי האחרון של יהדות תימן, מפי אביו חכם יחיא קורח, ומפי החכם מארי חיים צאלח. בשנת תש"ט (1949), בהיותו בן 14, זכה ועלה לארץ ישראל יחד עם משפחתו, שהתיישבו במעברת ראש העין. במהלך שהותם במעברת ראש העין, נעלמה אחותו התינוקת, ואין יודע היכן היא עד היום הזה.
ממעברת ראש העין עברה המשפחה לירושלים, וחכם שלמה קורח החל ללמוד בישיבת 'מקור חיים', ולאחר מכן ב'אור ישראל' בפתח-תקווה. בשנת תשי"ג (1953), עבר ללמוד בישיבת 'מרכז הרב' בירושלים, למשך כשנה. ולאחר מכן עבר ללמוד בישיבת פוניבז' בבני-ברק. כל אותן שנים פעל במחנות העולים לחזקם בדברי תורה, והקים את 'ארגון בני הישיבות יוצאי תימן'. בשנת תש"ך (1960), עבר לארצות הברית למשך שנה כדי ללמוד בישיבת לייקוויד, והיה מקורב לראש הישיבה הרב אהרן קוטלר. שם נשא לאישה את אסתר לבית שרעבי, ונולדו להם בן ושלוש בנות. עם שובו לארץ ישראל המשיך בלימודיו בכולל האברכים של ישיבת פוניבז'.
בשנת תשכ"ד (1964) נסמך לרבנות בידי הרב איסר יהודה אונטרמן, הרב אברהם נשר והרב ברוך יצחק לוין, ונתמנה לחבר לשכת הרבנות בבני-ברק. בשנת תשכ"ה (1965), נבחר לרבה של הקהילה התימנית בבני-ברק. הוא הקים ייסד ישיבה לבני תימן בירושלים, והקים בית מדרש בבני ברק בשם 'חניכי הישיבות'.
בשנת תשמ"ו (1986), לאחר פטירתו של הרב יעקב לנדא, חכם שלמה קורח מונה לרב העיר בני ברק, והיה לרב הראשון, שמונה לרב העיר בני ברק ע"י הרבנות הראשית. במקביל, עיריית בני ברק מינתה את הרב משה יהודה ליב לנדא כרב העיר מטעם העירייה.
חכם שלמה קורח חיבר ספרים רבים, וביניהם הסדרה 'עריכת שולחן - ילקוט חיים', ה' כרכים - דינים ומנהגים קדומים, ובכללם מנהגי תימן, שנדפסה בבני-ברק בשנת תשס"ג (2003); ספר שאלות ותשובות בהלכה בשם 'תשובה כהלכה', שנדפס בבני-ברק תשנ"ד (1994); וכן ספריו במחשבה, כגון 'ועמך כולם צדיקים', שנדפס בבני-ברק בשנת תשע"ג (2013); וספרו 'זאת אמונתי', שנדפס בבני-ברק בשנת תשנ"ב (1992).
חכם שלמה קורח נפטר ביום י"ג בחשוון תשע"ט (2018), ומנוחתו כבוד בבית הקברות סנהדריה בירושלים.
