חכם שלמה אבן דנאן נולד לאביו חכם משה ולאמו מרת חנה בשנת תר"ח (1848) בעיר פאס שבמרוקו.
בשנת תרי"ח (1858), כשהיה בן 10, נפטר אביו, חכם משה אבו דנאן, והוא גדל על ברכי סבו, החכם שמואל אבן דנאן. הוא העמיק בלימודו מפי דודו הדיין, חכם יצחק אבן דנאן, ומפי רבו המובהק, רב העיר פאס, חכם אבנר ישראל הצרפתי, ומפי הדיין חכם שאול אבן דנאן.
חכם שלמה אבן דנאן נשא לאשה את מרת סולטנה, ביתו של חכם שאול אבן דנאן, ונולדו להם שלושה בנים ובת אחת: חכם משה, חכם שאול, חכם אליהו, והבת פריחה, שנפטרה בצעירותה בשנת תרפ"ב (1922).
בשנת תרל"ה (1875), הצטרף אל דודו, חכם יצחק אבן דנאן, לביקור בארץ ישראל, במטרה לבדוק אפשרות להתיישב בארץ ישראל. כשחזרו אל העיר פאס, שימש גזבר הקהילה. הוא דאג לעניי העיר, ושימש כתובת לכל השד"רים הבאים מארץ ישראל. כשפרצה שריפה בשכונת היהודים בפאס, נותרו כחמש מאות יהודים בלא קורת גג. חכם שלמה אבן דנאן דאג שכל בעלי הבתים, יארחו בביתם את אחיהם עד ישובו לאיתנם הראשון.
בשנת תרל"ט (1879), כשהיה בן 31, נתמנה לדיין בבית הדין של עיר פאס. בשנת תרע"ד (1914) יזם המושל העליון הצרפתי הגנרל גורו אסיפה גדולה של ראשי השלטון עם נציגי הציבור. ועד הקהילה היהודית בחר בחכם שלמה אבן דנאן ובמר יצחק נידאם לשמש נציגי הקהילה באסיפה.
בשנת תרס"ו (1906) יצא לאור בירושלים ספרו 'אשר לשלמה' - שו"ת.
בשנת תרע"ט (1919) עבר לעיר הבירה רבאט, לשמש בקודש בבית הדין העליון של מרוקו בראשות חכם רפאל אנקווא. לאחר כשנתיים, בשנת תרפ"א (1921) חזר לעירו פאס, לשמש רב העיר ואב בית הדין.
חכם שלמה אבן דנאן נפטר במוצאי שבת, יום כ"ח חשון תרפ"ט (1929), ונקבר בכבוד גדול בעיר פאס.
ספרו 'בקש שלמה' - שו"ת יצא לאור לאחר מותו, בקזבלנקה, בשנת תרצ"ו (1936). בנו ותלמידו חכם שאול אבן דנאן, שימש הרב הראשי של מרוקו.