חכם אברהם פנסו נולד לאמו שרה ולאביו ישראל בשנת ת"ק (1740) בעיר שׂראיי-בוסנה (סרייבו) בבוסניה.
כשהיה בגיל 3 נהרג אביו, וזמן קצר לאחר מכן נפטרה אימו, כך שגדל כיתום, ולמד במוסדות הקהילה בעירו שׂראיי-בוסנה. גדל בתורה וביראה, וכשהגיע לפרקו נשא לאישה את בת הגביר חיים דניאל הלוי, שדאג לכל מחסורם, כך שהתפנה לעסוק בתורה יומם וליל.
בשנת תקל"ג (1773), חכם דוד פארדו, רב העיר איספאלטרו (קרואטיה), וממלא מקום הרב הראשי ליהודי בלגרד, מונה לרב העיר שׂראיי-בוסנה. חכם אברהם פנסו, שהיה עמו בקשר עוד בהיותו באיספאלטרו, היה לתלמידו המובהק. בשנת תקמ"א (1781) חכם דוד פארדו עלה לארץ ישראל, והפקיד בידי חכם אברהם פנסו את כתב היד לחלק השני של פירושו על התוספתא 'חסדי דוד'. חכם אברהם פנסו, שם פעמיו לעיר ליוורנו, וזכה להוציא לאור את ספר רבו בשנת תק"ן (1790). חכם אברהם פנסו שימש ראש ישיבה ואב-בית-דין בעיר שראיי, והיה שותף להנהגת העיר, יחד עם חברו, החכם יצחק פארדו, בנו של רבו, החכם דוד פארדו.
בשנת תקנ"ח (1998) יצא לאור בשאלוניקי ספרו 'אפי זוטרי' בהלכות פסח, וספרו 'משפט כתוב' - ליקוטי הלכות מספרי מרן החיד"א, החכם חיים יוסף דוד אזולאי, אותו פגש בביקורו בליוורנו. בשנת תקס"ה (1805) הוציא לאור בשאלוניקי את ספרו 'תולעת שני' - דרושים.
בסוף ימיו, זכה ועלה לארץ ישראל יחד עם בנו החכם חיים דניאל שלמה פנסו, והתיישבו בירושלים. בירושלים כתב את חיבוריו: 'כתית למאור' על אגדות התלמוד, ואת השו"ת 'עזרה מצר'. הספרים עמדו בכתב יד, עד שיצאו לאור, בשנת תשנ"ה (1995) ע"י הוצאת חברת אהבת שלום.
חכם אברהם פנסו נפטר ביום י"ח בחשוון תק"פ (1820), ומנוחתו כבוד בהר הזיתים בירושלים.