חכם אברהם דאנון נולד לאמו ולאביו חכם יוסף דאנון בשנת תרי"ז (1857) בעיר אדירנה, בטורקיה.
ראשית תורתו למד מפי חכמי עירו אדירנה, גדל בתורה וביראה, והיה לתלמיד חכם. בשנת תרל"ז (1879) ייסד באדירנה את 'חברת שוחרי תושיה', שעודדה לימודי ספרות והיסטוריה יהודית, והפצת השכלה כללית בקרב צעירים.
בשנת תר"מ (1880) נסע לפאריז ולמד פילוסופיה בסורבון, שם למד מפי בן עירו, פרופ' יוסף הלוי. במקביל הרחיב ידיעותיו בחכמות הכלליות, וידע שפות רבות על בורין. בשנת תרמ"ז (1887) יצא לאור ספרו 'תולדות בני אברהם', ובשנת תרמ"ח (1888) יצא לאור ספר שירה בשם 'משכיל לאידן'. בהמשך פרסם שירים ומאמרים בעיתוני התקופה.
באותה שנה ייסד את העיתון היהודי הראשון באדירנה, בשם 'אל פרוגריסו' בלאדינו, ובעברית 'יוסף דעת'. העיתון התפרסם כל ארבעה ימים, בארבע שפות: עברית, לאדינו, כתב רש"י וטורקית. בשנת תרמ"ט (דצמבר 1888), הסולטאן עבד-אל חמיד השני, הורה לסגור עיתונים רבים, ובתוכם גם עיתונו של חכם אברהם דאנון.
במקביל לעיסוק במחקריו, עסק בחינוך ועמד בראש התלמוד תורה באדירנה.
בשנת תרנ"א (1891) ייסד באדירנה את בית המדרש לרבנים של 'כל ישראל חברים', בו לצד לימודי הקודש, רכשו השכלה מערבית-מודרנית. בשנת תרנ"ח (1898) עבר לעיר איסטנבול, והעביר עימו את בית המדרש לרבנים. הוא מינה את חכם חיים נחום אפנדי לסגנו, וביחד עם ד"ר דוד מרכוס, הוו מועצה רוחנית של יהודי איסטנבול. חכם חיים נחום אפנדי נשא לאישה את סולטנה, בתו של חכם אברהם דאנון, ומונה לחכם באשי של האימפריה העות'מאנית.
בשנת תרע"ז (1917), עם תום מלחמת העולם הראשונה, עבר לפאריז, שם שימש מורה לעברית, בÉNIO - בית המדרש למורים של כל ישראל חברים (École Normale Israélite Orientale). בשנת תר"פ (1920) עמד בראש בית המדרש למורים, שהכשיר עשרות מורים לעבודה בבתי הספר של כל ישראל חברים בכל ארצות המזרח.
חכם אברהם דאנון נפטר ביום כ"ט באייר תרפ"ה (1925).
בין חיבוריו שנותרו בכתב יד: מילון עברי-צרפתי, וביוגרפיות על תנאים ואמוראים.