בילדותו נתייתם מאביו, ואמו החליטה לעלות לארץ לישראל. הם זכו ועלו בשנת תרל"ב (1871), והתיישבו בעיר ירושלים. הם חיו בעוני רב, והתגוררו בעזרת הנשים של בית כנסת. אמו התפרנסה מכיבוס בגדים, בכדי שבנה יוכל ללמוד תורה. בצעירותו, למד בתלמוד תורה 'דורש ציון', ולאחר מכן, למד מפי רבו, החכם רפאל אלעזר בן-טובו, רבה של עדת המערבים. לאחר פטירת רבו, בשנת תרמ"ו (1886), היה בין שני תלמידיו, שהביאו לדפוס את ספרו ההלכתי 'פקודת אלעזר'.
בשנת תרנ"ב (1892), יצא כשליח דרבנן מטעם עדת המערבים בירושלים לצפון אפריקה. כשעבר בעיר אלכסנדריה שבמצריים, נתבקש בידי הקהילה לעמוד בראש תלמוד תורה ובית הספר 'עמלי תורה'. הוא הקים צוות של מלמדים, וחיבר ספרי לימוד לתלמידים, בנושאי שפה עברית, היסטוריה יהודית והלכה. לאחר זמן מה, החל לשמש מזכיר הרבנות באלכסנדריה.
בשנת תרס"ח (1908), לאחר פטירת רבה של אלכסנדריה, חכם אליהו בכור חזן, נתמנה לרב הראשי של אלכסנדריה, ושימש בתפקיד במשך כשנתיים. בשנת תר"ע (1910), הוזמן לשמש רב העיר, החכם האיטלקי ד"ר רפאל דלה-פרגולה, והוא בענוותנותו שימש סגנו. בשנת תרפ"ג (1923), לאחר פטירת החכם ד"ר רפאל דלה-פרגולה, חזר לשמש רב העיר במשך כארבע שנים נוספות. בשנת תרפ"ז (1927) הוזמן לשמש רב העיר, החכם האיטלקי פרופ' דוד פראטו, והוא בענוותנותו שימש סגנו.
בשנת תרפ"ח (1928), חזר לירושלים, ונתמנה אב בית הדין ורב עדת המערבים בירושלים. הוא נתיישב בשכונת רוממה בעיר, בבית שנבנה עבור רב הקהילה, שכלל גם בית כנסת. בית כנסת זה פעיל עד היום, ונקרא 'זכור לאברהם, על שמו. בשנת תרצ"ו (1936), נבחר לשמש כחבר מועצת הרבנות הראשית.
חכם אברהם אביכזר נפטר בליל מוצאי שבת, יום כ"ח בתשרי תש"ה (1944), ומנוחתו כבוד בהר הזיתים.
בין כתביו: 'העברי: דברי ימי ישראל' - ספר לימוד בהיסטוריה יהודית, שנדפס בשני כרכים, באלכסנדריה בשנת תרע"ו (1916); וספרו 'העברי: ספר למוד ראשית דעת שפת עבר' - ספר לימוד בשפה העברית, שנדפס בכמה מהדורות באלכסנדריה, בשנים תרס"ו-תרפ"א (1906-1920); וספרו 'העברי: ספר למוד ראשית דעת התורה והמצוה' - ספר לימוד הלכה, שנדפס בכמה מהדורות באלכסנדריה, בשנים תרס"ח-תרע"ד (1914-1908).
