ראשית תורתו למד מפי אביו, חכם יוסף אלמליח, ששימש דיין העדה המערבית בירושלים. הוא למד בתלמוד תורה של העדה המערבית מפי החכם יהודה קסטל. בהמשך למד בבית המדרש 'דורש ציון', שם למד לימודי קודש, לימודים כללים ושפות. כשבגר למד בישיבת 'תפארת ירושלים', הישיבה המרכזית של היישוב הספרדי בירושלים, באותה עת. השכלה אקדמית רכש במקרא וארכיאולוגיה, במוסד הצרפתי סנט אטיין בירושלים.
בשנת תרס"ב (1902) החל ללמד ערבית וצרפתית בבית הספר לבנים של 'כל ישראל חברים' בירושלים, בניהולו של מר אברהם בנבנישתי. בשנת תרס"ד (1904) היה ממייסדי 'אגודת צעירי ירושלים'. בשנת תרס"ה (1905) החל לשמש עוזרו של מר אליעזר בן יהודה, סייע לו בעבודתו העיתונאית, והיה חבר מערכת בעיתוני התקופה.
בשנת תרס"ז (1907) מר אברהם רפאל בן ציון אלמליח נשא לאישה את שמחה בתו של החכם יעקב דנון, הרב הראשי ליהודי דמשק, ונולדו להם שלושה בנים ושתי בנות.
בשנת תר"ע (1910) ביקר בירושלים, החכם באשי חיים נחום אפנדי, הרב הראשי של האימפריה העות'מאנית. מר אברהם רפאל בן ציון אלמליח שימש מזכירו, וחזר עימו לקושטא, לנהל את התלמוד תורה העברי. בקושטא שימש גם כחבר מערכת העיתון 'המבשר'. לאחר כשנה עבר לדמשק, שם שימש מזכיר הקהילה ומנהל בית ספר.
בשנת תרע"ד (1914) חזר לארץ ישראל לנהל את סניף בנק אנגלו-פלשתינה בעזה, וייסד את עיתון 'החרות' אותו ערך במשך חמש שנים. בשנת תרע"ו (1916) גלה לדמשק, ובתום מלחמת העולם הראשונה חזר לארץ ישראל.
עם ההתארגנות מחדש של היישוב היהודי בשל כניסת המנדט הבריטי, נבחר כחבר באסיפת הנבחרים הראשונה מטעם רשימת העדה הספרדית, ושימש באסיפת הנבחרים השלישית כחבר בוועד הלאומי. במקביל היה חבר הנהלת עיריית ירושלים, סגן נשיא ההתאחדות העולמית של היהודים הספרדים ועורך הירחון 'מזרח ומערב'. לצד פעילותו הציבורית, משנת תרפ"א (1921) ועד שנת תרצ"ב (1932), לפרנסתו עבד ב'דואר היום'.
בשנת תרפ"א (1921) נבחר לחבר הוועד הפועל של 'התאחדות הספרדית העולמית'. בשנת תרפ"ג (1923) יצא, כנציג הקרן הקיימת לישראל, לשליחות בקהילות היהודיות בצפון אפריקה. בשנת תרצ"ו (1936) יצא, כנציג קרן הייסוד, לשליחות בסלוניקי. מאותה שנה ואילך שימש גם כ'חבר ההנהלה של הוועד הלאומי'.
תוך מלחמת העצמאות, בהתקפה על בית הדפוס של העיתון ג'רוזלם פוסט, נהרס ונשרף משרדו ברחוב החבצלת. בשריפה אבדו חיבוריו שעמדו בכתבי יד, ומחקרים שערך במשך עשרות שנים. בשנת תש"ח (1948), עם קום מדינת ישראל, מר אברהם רפאל בן ציון אלמליח נבחר לכנסת ישראל מטעם רשימת ספרדים ועדות מזרח.
הוא חיבר ערך ותרגם עשרות ספרים ומאות מאמרים. בין חיבוריו הרבים: 'לתולדות עדת המערבים בירושלים'; 'לתולדות היהודים בסלוניקי'; 'היהודים בדמשק ומצבם הכלכלי והתרבותי'; 'הוד יוסף' לזכרו של הרה"ג יוסף יצחק שלוש; ' גאלאנטי חייו ופעלו הספרותי'; 'משה בן שבת אמזלג'; 'הראשונים לציון, תולדותיהם ופעולתם'. בין תרגומיו לעברית נמצא ספרו החשוב של מר נרסיס לוון: 'חמישים שנות היסטוריה'.
מר אברהם רפאל בן ציון אלמליח נפטר ביום כ"א באדר ב' תשכ"ז (1967), ומנוחתו כבוד בהר המנוחות. הוא אומנם לא נסמך כחכם השלם אך זכותם של חכמי הספרדים, שקיבץ והוציא לאור תולדותיהם ופועלם, עומדת לו, לדור ודור.
