חכם עמרם אבורביע נולד לאמו יוכבד ולאביו חכם שלמה בטיטואן שבמרוקו ביום י"ז אדר תרנ"ב (1892).
בילדותו למד תורה מאביו חכם שלמה בבית מדרשו - 'מדרש שלמה', ומסבו חכם יוסף.
בשנת תרס"ו (1906), והוא בן 14, עלה עם סבתו ביליידא וסבו חכם יוסף לארץ ישראל. בשנת תרע"ג (1913) הצטרפה גם משפחתו. בארץ למד מפי חכם יוסף חיים הכהן, בישיבה 'טובי ישבעו' של בני העדה המערבית (יוצאי מרוקו) בירושלים. ולאחר מכן, למד בבית המדרש 'אור זרוע', שהקים אביו בבית המשפחה.
חכם עמרם אבורביע נשא לאישה את רבקה, בתו של רבו, חכם יוסף חיים הכהן, ונולדו להם חמישה בנים ובת. בניו נמנו על הנוטרים, היו חברי מחתרות ובהמשך התגייסו לצה"ל.
חכם עמרם אבורביע הקים בית הוצאה לאור של ספרי קודש, ועסק במסחר של תשמישי קדושה. במקביל לימד בישיבת 'פורת יוסף' בעיר העתיקה והגיד שעור בישיבת 'שערי ציון', אותה יסד חכם בן ציון מאיר חי עוזיאל, וכן שימש כשוחט ובודק והיה דיין בהרכב בית הדין של עדת המערביים בירושלים.
בשנת תר"ף (1920) חכם עמרם אבורביע היה ממייסדי שכונת 'בית וגן' בירושלים.
בשנת תרפ"ז (1926) יסד את בית הכנסת ובית המדרש 'אור זרוע' בשכונת נחלאות, ושימש כרב השכונה.
בשנת תרצ"ד (1934) יצא לשליחות בצפון אפריקה מטעם עדת המערביים בירושלים.
בשנת תשי"א (1951) נבחר חכם עמרם אבורביע לתפקיד הרב הספרדי הראשי של פתח תקווה. הוא היה חבר מועצת הרבנות הראשית לישראל וישב בראש המועצה הארצית של ארגון רבני עדות המזרח.
חכם עמרם אבורביע נפטר ביום ז' טבת תשכ"ז (1966), בפתח תקווה.
חכם עמרם אבורביע כתב את הספר 'נתיבי עם'. כרך אחד - דרשות והכרך השני - הלכות ומנהגי ירושלים ובית-אל, חיבר תפילה לרפואת פצועי צה"ל, וערך את הסידור 'רינת ישראל' בנוסח הספרדים ובני עדות המזרח.