2020-1941ראשית תורתו למד מפיו אביו, חכם בן ציון בקשי דורון, מראשי ועד העדה הספרדית בירושלים וגבאי בית הכנסת רב יוחנן בן זכאי בעיר העתיקה. בשנת תשט"ו (1955) החל ללמוד ב'ישיבת הדרום' ברחובות. בשנת תשי"ט (1959) עבר ללמוד בישיבת חברון בירושלים, ובשנת תשכ"ד (1964) עבר ללמוד בכולל 'קול יעקב' ע"ש חכם יעקב עדס, ראש ישיבת פורת יוסף. בהמשך למד ולימד בישיבת 'פורת יוסף'.
הראשון לציון, חכם אליהו בקשי דורון נשא לאישה את מרת אסתר, בת החכם אהרון שלום לופס, רב העיר עכו.
בשנת תש"ל (1970) החל לשמש רב שכונות רמת הנשיא ורמת יוסף בבת ים, ובשנת תשל"ב (1972) מונה לרב העיר בת ים. בשנת תשל"ד (1974), לאחר פטירת חכם יוסף משאש, החל לשמש רב העיר חיפה. תפקיד אותו מילא כעשרים שנה. בחיפה הקים את ישיבת 'מורשה', שם מסר שיעורי תורה.
בשנת תשנ"ג (1993) נבחר לשמש כרב הראשי לישראל, ה'ראשון לציון'. הוא הוביל את מהפכת הכשרות ברבנות הראשית, נקט בעדיפות כוח ההיתר לאמיתה של תורה, כשיטת חכמי הספרדים. התנגד לביטול היתר המכירה בשנת השמיטה ותמך בביטול חוק הנישואין והגירושין, מכיוון שהחוק משניא את היהדות והדת על החילונים.
בשנת תשס"ב (2002) התפרסמו ארבעת הכרכים הראשונים בסדרת ספריו 'שו"ת בניין אב', בה קובצו פסקיו ותשובותיו, ושלושה כרכים מסדרת ספריו 'בנין אב - שיחות ומאמרים'. בהמשך, הקים את מוסדות 'בנין אב' ברמת שלמה, ו'דבי אליהו' בבית וגן, ושימש גם נשיא בית המדרש למנהיגות רבנית-חברתית 'ממזרח שמש'. הוא פעל גם בארגוני חסד רבים כמו 'ידידי בית החולים רמב"ם', הנהלת קרן לב"י, וחבר נשיאות 'מכון ירושלים'.
בשנת תשס"ה (2005) נפטרה אשתו, מרת אסתר מהמחלה, ולאחר מכן, לקה בליבו, מאז, סבל מבעיות רפואיות.
הראשון לציון, חכם אליהו בקשי דורון נפטר ביום י"ט בניסן תש"פ (2020), במגפת הקורונה.
