1993-1909בילדותו התייתם מהוריו וכנער רך בשנים נאסף יחד עם אחיו לבית דודו עזרא. את השכלתו הכללית רכש בביה"ס אליאנס בגדאד, הצטיין מיוחד בלימוד שפות וידע על בוריין: עברית, ערבית, אנגלית, צרפתית וכשעלה לארץ ישראל למד לדבר גם בשפת האידיש.
בשנת תרפ"ז (1927) בהיות בן ח"י שנים, חכם משה עמבר עלה לארץ ישראל לבדו, בחוסר כל. תלאות רבות עבר כשהוא מבריח את עצמו מגבול עיראק, וניצל מסכנות רבות בדרך עד שזכה לעלות לעיר הקודש ירושלים.
בשנת תרפ"ט (1929), חכם משה עמבר נשא לאשה את נעימה בת פרחה כהן שגם היא נולדה בעיראק ועלתה לארץ ישראל יחד עם אמה האלמנה. הם קבעו דירתם ברובע היהודי בירושלים, ולאחר מכן עברו לדור בשכונת נחלאות שם גרו רוב ימיהם בצניעות ובכבוד, תוך שהם עוסקים בתורה ובמצוות ובגמילות חסדים.
מאז עלותו לארץ, השקיע עצמו בלימודי התורה בעיקר בבית המדרש 'שמש צדקה' של החכם צדקה חוצין עמו למד ועם החכם יעקב מוצפי, בנגלה ובתורת הנסתר. את עיקר פרנסתו מצא בבית הדפוס המפורסם 'אשכול' שם עבד כמגיה וסדר ראשי שנים רבות.
לימים, התמנה לרב בית הכנסת 'סוכת שלום' הסמוך לביתו, בשכונת נחלאות בירושלים. שם שימש כחזן, דרשן ומורה הוראה למתפללים במשך 40 שנה.
בשנים האחרונות לחייו, ומיוחד לאחר פטירת אשתו נחלש ועבר להתגורר תחילה בבית בתו וחתנו בשכונת גילה בירושלים ולאחר מכן באחד מבתי האבות שבעיר. גם בשני משכנות אלו לא פסק מלדרוש בפני הציבור והיה אומר דברי תורה בכל הזדמנות.
חכם משה עמבר נפטר ביום כ"ז סיון תשנ"ג (1993) בהיותו בן 84 ומנוחתו כבוד בירושלים.
ספרו היחיד שיצא לאור 'יראת השם' - דרשות, חידושים, ופירושים על חמישה חומשי תורה, הפטרות, מועדים ואירועים שונים. נערך על ידו, אך הוא לא זכה לראותו יוצא לאור בחייו, וכשנה לאחר פטירתו הוציאוהו לאור בני משפחתו יחד עם הרב משה בן אבו רב שכונת גילה בירושלים.
