1964-1882את ראשית תורתו קיבל מאביו חכם עזריה, שהיה מחכמי העיר ומדייניה. לאחר פטירת האב, נתמנה אחיו של חכם אברהם חכם לרב העיר. לאחר שנפטר גם האח, חכם אברהם חכם אימץ את בניו, והחליפו כרב העיר.
בשנת תרע"ב (1912) עבר לשמש כרבה של העיר כרמנשאה, בה היו באותה עת כששת אלפים יהודים. חכם אברהם חכם עסק בכל מלאכות הקודש. נוסף על תפקידיו כרב העיר, היה גם אחראי על החינוך התורני בבית הספר של חברת 'כל ישראל חברים', שרבים מילדי ישראל שבעיר למדו בו. בתוקף תפקידו קשר קשרים טובים עם מושל העיר וחכמי המוסלמים, בקשרים אלו השתמש לעזרת היהודים בעירו ואף לעזרת יהודי ערים אחרות.
אהבת ארץ ישראל יקדה בליבו. בערב פסח תרצ"ו (1936) חכם אברהם חכם עלה לארץ ישראל, והתיישב בשכונת שכונת הבוכרים. בשנת תש"ב (1942) עבר לכהן כרב המושב בית חנן, ולאחר כשנה עבר לראשון לציון ושימש כרבם של קהילת האורפלים. עם קום המדינה חזר לירושלים, והקים בית כנסת 'תפארת ירושלים' וכן את ישיבת 'מגן אברהם'. בשניהם שימש כרב, כדרשן וכמנהיג רוחני.
בליל שבת ראש חודש אלול, כמה ימים לפני פטירתו אמר לאשתו כי הוא אינו רואה את דמותו בכוס הקידוש והוא חושש שקיצו קרב. ביום ד' אלול תשכ"ד (1964) בחצות הלילה, קם ממיטתו, נטל ידיו וכרע בפתח החדר סמוך למזוזה. כאשר ניגשה אליו אשתו, ביקש ממנה מגבת. לאחר שניגב את ידיו ובירך כהלכה הניח ראשו על כתפיה של אשתו וכך יצאה נשמתו בקדושה ובטהרה.
ספרו היחיד הוא 'ספר יזרעאלי' - דרושים ופרושים לכל פרשיות התורה. ספר זה כתב וערך במשך שנים רבות אך רק כחודשיים לפני פטירתו מסרו לדפוס.
