גדל בתורה וביראה על ברכי חכמי בגדאד. למד ב'מדרש בית זליכה' מפי רבותיו: חכם יהודה פתיה, חכם שמעון אגסי, חכם שמעון מרדכי, חכם צדקה חוצין וחכם יצחק מכמל. עוד בצעירותו התבלט בשקידתו העצומה, ועמד בראש חבורת תלמידים, שלמדו יחד מעבר לשעות סדרי הישיבה, עד חצות הלילה.
בשנת תרע"ד (1914) בתקופת מלחמת העולם הראשונה ברח לבצרה וייסד את ישיבת 'עזרא הסופר'. עם תום המלחמה חזר לבגדאד, לימד ב'מדרש בית זליכה', ועמד בראש ישיבת 'תומכי תורה'.
בשנת תרפ"ג (1923) מונה לדיין בבית הדין בבגדאד, ובשנת תרפ"ח (1928), מונה לאב בית הדין.
בחג השבועות, בשנת תש"א (1941), הותקפה הקהילה היהודית בבגדאד ע"י פורעים עיראקיים פרו-נאציים בהשתתפות חיילים ושוטרים עיראקיים. במהלך ההתקפות נרצחו כ-180 יהודים, וכ-2200 נפצעו קשה. נשים נאנסו, ואיבריהם של תינוקות רוטשו באכזריות. חנויות של יהודים ובתיהם, שסומנו מראש נבזזו ונשרפו. בתי הכנסת וספרי התורה חוללו. הצבא הבריטי, ששהה בסמוך לעיר, נמנע להיכנס לעיר ולעצור את מסע הרצח, שהסתיים כעבור יומיים עם כניסתם לעיר של כוחות צבא, המורכבים בעיקר מגדודים כורדיים, הנאמנים ליורש העצר עבד אל-אילה בן עלי אל-האשמי. במהלך ההשתלטות על המהומות נהרגו כ-400 פורעים. חכם סלמאן חוגי עבודי, במסירות נפש, דאג לקבורת הנרצחים, ועסק בסיוע לפצועים הדואבים.
בשנת תש"ז (1947) החל לשמש כרב הראשי של בגדאד וראש בית הדין לערעורים. ולמעשה היה הרב הראשי האחרון ליהודי בגדאד. בשנת תשי"א (1951) זכה ועלה לארץ ישראל. הוא שוכן במעברת תלפיות בירושלים, והופנה לעבוד בעבודת דחק בקרן הקיימת לישראל. תלמידו חכם שמואל דורי, פרסם את הדבר, ובהתערבות הראשון לציון, חכם יצחק ניסים עבר לגור בשכונת קרית יובל, ובשנת תשי"ב (1952) מונה לדיין בבית הדין בפתח תקווה. בגמר הדיונים בבית הדין היה נוסע לבית הכנסת 'ארם נהריים' בתל-אביב, שם מסר שיעורים עד השעות המאוחרות של הלילה. בשנת תשט"ז (1957) מונה לאב בית הדין בירושלים, ובהמשך היה חבר מועצת הרבנות הראשית ודיין בבית הדין הרבני הגדול לערעורים. חכם סלמאן חוגי עבודי עבר לגור ברחוב יפו בירושלים ומסר שיעורים בבתי כנסת רבים בירושלם ובהם 'אוהל רחל', 'מנחת יהודה', 'בחר', 'טוויג', 'עזרא הסופר'.
חכם סלמאן חוגי עבודי נפטר ביום כ"ה באדר תשל"ג (1973) בעת שמסר שיעור בבית הכנסת 'אוהל רחל', ומנוחתו כבו בהר הזיתים ליד קבר רבו, החכם המקובל יהודה פתיה.
חכם סלמאן חוגי עבודי לא הוציא לאור את חידושיו, מעט מדרשותיו לוקטו מפי תלמידיו.
