חכם אברהם עלוש נולד לאימו ולאביו חכם פנחס עלוש, כנראה בשנת תקצ"ג (1833) בעיר גאבס בתוניס.
גדל בתורה וביראה על ברכי חכמי גאבס. התעלה והיה לאב בית הדין ורב העיר גאבס. עמד בראש הישיבה דרש והרביץ תורה ברבים. העמיד דור תלמידים רבים וחשובים, ששימשו ברבנות בכל רחבי תוניס ולוב.
חכם אברהם עלוש נפטר ביום ו' בטבת תרס"ג (1903).
בשת תרע"ג (1913) יצא לאור, לאחר פטירתו, ספרו 'ברית ותורה' יחד עם הספר 'דברי משה' של תלמידו, החכם משה מימון. שני הספרים נכרכו בשם 'ברית ותורה'. דרשותיו, שעמדו בכתב יד אצל תלמידיו, לוקטו ונערכו בידי תלמידיו חכם משה מימון וחכם יצחק חי בוכבזה. סייע בידם בהעתקת הכתבים חכם חיים חורי.
בשנת תרצ"ב (1932) יצא לאור הספר 'המילואים למשה' של תלמידיו חכם משה מימון, ובו דרשה במלאות אחד עשר חודשים לפטירתו. בתום האזכרה, יצא הצעיר, שמעון מימון לביתו, והותקף ע"י קבוצת ערבים, שעמדו להורגו. הוא פנה בתפילה: 'רבי אברהם, רבינו הקדוש. תעמוד לי', ולפתע זקן אחד הופיע והניס את התוקפים. לימים הוקם בנהריה מכון 'דברי ברית' לזכרם של חכם אברהם עלוש וחכם משה מימון.