בשנת תרכ"ח (1868) זכה ועלה עם אביו, התיישבו בעיר ירושלים, והיו מראשוני המתיישבים בשכונת 'נחלת שבעה' בירושלים. הוא למד בבית המדרש 'דורש ציון', ורכש גם ידיעות בשפות: ערבית, צרפתית, וטורקית.
בשנת תרל"ו (1876) נשא אישה, ונולד להם בן יחיד. בנם יחידם נפטר בגיל 18, והם התאבלו עליו כל ימיהם. בבגרותו מתה עליו אשת נעוריו, והוא נשא אישה אחרת ונולדו להם בן ובת.
בשנת תרמ"ז (1887) יצא בשליחות לעיר פרס. בשנת תרנ"א (1891) הגיע לעיר כירכוך בעיראק, לאחר שהתנפלו עליו שודדים, וגזלו את כל אשר לו. כך סבב בין ערי העולם היה בסוריה, עיראק ובפרס, בעדן, הודו ובסין.
בשנת תרנ"ז (1897) הגיע למרקש במרוקו כשליח כוללות חברון. הוא נאלץ להתעכב בעיר כשלושה חודשים, במהלכם חיבר את ספרו' ושחטתם בזה'. לאחר מכן הגיע לעיר פארו בפורטוגל, שם שימש שוחט העיר.
עם חזרתו לירושלים שימש כמורה צדק ודיין בבית הדין של החכם משה תג'יר יחד עם חכם יצחק לבטון. הוא חתום על פסק דין יחד עמם, המתיר מעגינותה את אלמנתו של יעקב סמחון, תושב יפו, אשר לפי העדויות נרצח בידי פורעים מהכפרים אשר בסביבות העיר יפו, ועקבותיו לא נודעו.
חכם אברהם ביג'אג'ו היה ידידו ואיש אמונו של החכם בן ציון קואינקה, ראש אב בית דין לעדת הספרדים בירושלים חכם בן ציון קואינקה הפקיד בידו את ניהול ענייניו כאשר נסע לחוץ לארץ.
חכם אברהם ביג'אג'ו שימש גבאי בבית התלמוד תורה הגדול וישיבת 'תפארת ירושלים', וגבאי בבית החולים 'משגב לדך'. בשנת תרע"ב (ינואר 1912) נבחר לשמש חבר בוועד העדה הספרדית בירושלים.
חכם אברהם ביג'אג'ו נודע כדרשן בעל לשון מחוכמת וסגנון נאה. דרש באירועים ציבוריים, בהספדים של תלמידי חכמים ובהנחת אבן פינה של מוסדות העדה.
חכם אברהם ביג'אג'ו נפטר בערב שבת קודש ביום ל' באב תרפ"ג (1923).
בשנת תרצ"ב (1932) יצא לאור, לאחר פטירתו, חיבוריו: 'ושחטתם בזה' - הלכות שחיטה, דינים ופסקים. חיבורים נוספים עומדים בכתב יד: 'דרושים' – מאה ואחד דרושים למועדים שונים. 'שמך אברהם' - חידושים ופירוש על התנ"ך פרקי אבות ודרושים. כן חיבר ספר חידושים על הש"ס, ספר על חכמת הקבלה, פירוש על התורה וחמש מגילה. כן כתב בכתב העת המאסף בעריכת חכם בן ציון קואינקה.
