נכדם של גדולים, סבו מצד אמו הוא הראשון לציון, החכם רפאל מאיר פאניז'ל, וסבו מצד אביו הוא הראשון לציון החכם יעקב שאול אלישר. ראשית תורתו למד מפי החכם מנחם בכר יצחק, ומפי דודו, חכם ניסים בנימין מרדכי אלישר. אחר למד גם בישיבת החכם גבריאל שבתי. למד ערבית על בוריה, וידע שפות נוספות.
בשנת תרמ"ג (1883) נשא לאישה את מרת ריקה, ביתו של חכם חיים ניסים ברוך, ונולדו להם שלושה ילדים.
לפרנסתו עסק במסחר, ובלילות היה לומד בקביעות עם סבו, הראשון לציון החכם יעקב שאול אלישר.
בשנת תרס"ד (1904) נפטרה אשתו בדמי ימיה, ובתום ימי האבל נסע לאוסטריה ולצרפת, להפיס את עיצבונו.
בשנת תרס"ז (1907) היה ממייסי שכונת 'זיכרון משה', ובשנת תרס"ט (1908) נבחר למועצת עיריית ירושלים. בשנת תרע"ב (1912) מונה לחבר הנהלת קופת היתומים הערבים, ונבחר כחבר ועד העדה הספרדית. בהמשך התפטר מתפקיד זה, ושימש יושב ראש ועד השחיטה בירושלים. בשנת תרע"ד (1914), עם תחילת מלחמת העולם הראשונה, שימש כחבר הוועד המשותף לחלוקת סיוע יהודי ארצות הברית. בשנת תרפ"ג (1923) נבחר שוב לחבר ועד העדה הספרדית, ובשנת תרפ"ה (1925) נבחר לשמש נשיא ועד העדה, היה מראשי בית מושב הזקנים והזקנות, הספרדי בירושלים, ויו"ר חברא קדישא. בתפקידו, נאבק בגזלת אדמות בית העלמין ע"י בעלי קרקעות ערבים, שקרקעותיהם גבלו בבית העלמין. השמיש בתי היהודים, שעמדו הרוסים בכפר השילוח, ושימשו מכלאות צאן לרועי הסביבה, והשכיר בתי ההקדש בשכונת שמעון הצדיק במחיר מוזל לעניים.
חכם יוסף שאול אלישר שימש גם חבר וועד העיר ליהודי ירושלים, חבר אספת הנבחרים הראשונה, וחבר מנהל בבית החולים משגב לדך ובית חינוך עיוורים. בערוב ימיו פרש מהנהגת הציבור, והקדיש עצמו ללימוד תורה.
בשנת תש"ב (1942) הדפיס את ספרו 'ויוסף שאול' -חידושים על הש"ס, ובו משא ומתן בהלכה עם חברו, הרב שמשון אהרן פולונסקי. לספרו צירף השגות דודו ורבו, חכם ניסים בנימין מרדכי אלישר.
חכם יוסף שאול אלישר נפטר ביום כ"א סיוון תש"ח (1948), ומנוחתו כבוד בבית העלמין בסנהדריה.
