חכם אברהם אלקלעי נולד לאמו ולאביו חכם שמואל בסביבות שנת תק"ט (1749) בסלוניקי שביוון.
למד תורה מפי חכם יוסף אבן יעיש, ובשנת תק"מ (1780), עבר לעיר דובניצה, שבבולגריה, שם שימש דיין ומורה הוראה. אחרי פטירת רבה של העיר, חכם אברהם סיד, נתמנה לרבה של העיר.
בשנת תק"ע (1810) חכם אברהם אלקלעי זכה ועלה לארץ ישראל והתיישב בעיר צפת.
חכם אברהם אלקלעי נפטר ביום ו' אדר תקע"א (1811), ונקבר בצפת.
חיבוריו כוללים את 'זכור לאברהם' - קיצור פסקי הלכות לפי הא"ב; 'חסד לאברהם' - שאלות ותשובות; 'דרושים לשבתות השנה' - עדיין בכתב-יד.