חכם אברהם ביתאן נולד לאמו מרת בירכה ולאביו חכם רחמים בג'רבה שבתוניס.
חכם אברהם ביתאן למד את ראשית תורתו מפי חכם כלפון משה הכהן, ולימים שימש כרב בית הכנסת על שם חכם יעקב חורי בג'רבה.
חכם אברהם ביתאן נשא לאישה את מרת פלילה לבית חורי ונולדו להם שלושה ילדים,
בשנת תשי"ט (1958) חכם אברהם ביתאן זכה ועלה לארץ ישראל, יחד עם אשתו ושניים מילדיו, הוא התגורר במעברה ליד רחובות, ולאחר מכם עבר להתיישב בנתיבות. מספר שנים לאחר מכן עלו לארץ גם אביו ואמו יחד עם ילדו השלישי, והם התיישבו יחד איתו בנתיבות.
חכם אברהם ביתאן היה תלמיד חבר של חכם רפאל כדיר צבאן, והשתתף בקביעות בשיעורו השבועי, בנוסף היה שליחו של חכם רפאל כדיר צבאן והיה אחראי להפרשת תרומות ומעשרות בשוק של נתיבות.
חכם אברהם ביתאן נפטר ביום כ"ה חשוון תשס"א (2001) ונטמן בבית העלמין בנתיבות.
חכם אברהם ביתאן הוציא לאור את חידושיו בספרים הבאים: 'שמו אברהם א' - חידושי גמרא ושו"ת, 'והוכיח אברהם' - דרשות שונות, 'שמו אברהם ב' - חידושי תורה ודרשות', ו'ויוסף אברהם' - ליקוט הנהגות טובות.